수학 사상 가장 우아한 증명

유클리드의 정리
기원전 3세기 사람인데 1과 자신으로 밖에
나누어떨어지지 않는 소수가 무한함을 증명함.
소수는 갈수록 나오는 빈도가 적어져서
언젠가 끝나지 않을까? 라고 생각할수도 있었는데
실로 스무스하게 무한함을 증명.

소수의 개수가 유한다하고 가정 !
소수가 n개 있다고 하고,
그 소수들을 P. P, B, R라고 하자.
P를 (PXRx B×…*R XP) +1의값을 갖는 수라고 하자.
즉, P는 어떠한 소수로 나누어도
나머지가 1이 남는 수이다.
P는 모든 소수들을 다 곱한뒤,
1을 더한 값이므로 가장 큰 소수보다도 더 큰수이고
따라서 소수는 아니다.
P는 소수가 아니기때문에 어떠한 소수로
나눠져야 하는데 P는 어떠 한 소수로 나누어도
나머지가 1이 남기 때문에 이는 불가능하다.

이러한 모순이 발생한 이유는 소수의 개수가
유한하다고 가정했기 때문이므로,
소수의 개수는 무한하다는 결론이 나온다.

대충 설명: 소수가 끝이 있다치자.
뭔진 몰라도 존재하는 소수 를 마지막까지
전부 곱했다치고 1을 더해보자.
그럼 그건 곱 한 수 중에 있을 수가 없는
새로운 소수다. 모순. 증명 끝